ЛЕКЦИЯ № 1

АНЫҚТАЛМАҒАН ИНТЕГРАЛ
1. Алғашқы функция жəне анықталмаған интеграл

Егер D аймағында дифференциалданатын ( ) x F функциясы
() ( ) x f x F = ′ немесе () ( )dx x f x dF =
теңдігін қанағаттандырса, онда ( ) x F функциясын ( ) x f функциясының D
аймағындағы алғашқы функциясы деп атайды.
Мысалы: ()
2
1 x
x
x f
−
− = функциясының ( ) 1 , 1 − аралығындағы алғашқы
функциясы ()
2
1 x F x − = , өйткені осы аралықтың кез келген x нүктесінде

Егер D аймағында функциясының алғашқы функциясы ( ) x f ( ) x F болса,
онда , (С - тұрақты сан) да осы аймақта функциясының
алғашқы функциясы болатыны айқын, себебі
() C x F + ( ) x f
() ( ) x f C x F = ′
+ ( ). Сонымен алғашқы функция деген бір бірінен айырмашылығы
С тұрақты санына тең болатын бірнешеу болуы да мүмкін екенін көреміз.
Алғашқы функцияға көшу операциясы «анықталмаған интеграл табу» деп
аталып
( ) ∫ dx x f (1)
Егер функциясының D аймағындағы алғашқы функцияларының біреуі
болса, онда
( ) x f
( ) x F
( ) ( ) ∫ + = C x F dx x f (2)
Егер (яғни () ( ) x f x F = ′ ( ) x f функциясының D аймағындағы алғашқы
функциясы болса), онда (2) формуладан ( ) x F
() ( ) ( ) ( ) ( )dx x f dx x F C x F d dx x f d = ′ = + = ∫ (3)
Енді осы теңдікті пайдаланып , (2) формуладан
() ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ + = = ′ = C x F dx x f dx x F x dF (4)
теңдігін аламыз.
(3) жəне (4) формулалардан дифференциалдау жəне интегралдау
операцияларының кез келген С тұрақтысы дəлдігіне дейінгі өзара кері
операциялар екенін көреміз.



2. Алғашқы функция табудың негізгі тəсілдері

1. Тұрақты көбейткішті интеграл таңбасының алдына шығаруға болады,
яғни егер функциясының алғашқы функциясы бар болса, онда
функциясының да алғашқы функциясы бар жəне
( ) x f
( ) x kf
( ) ( ) ∫ ∫ = dx x f k dx x kf (5)
Шынында да, егер функциясының алғашқы функциясы болса, онда ( ) x f ( ) x F
() ( ) () ( ) x kf x F k x kF = ′ = ′
болғандықтан, ( ) x kF көбейтіндісі функциясының
алғашқы функциясы. Ал анықталмаған интеграл анықтамасы бойынша
( ) x kf ( ) () () ( ) () ∫∫ + = + = 2 1 C x F k dx x f k C x kF dx x kf
Егер болса, онда бұл теңдеудің оң жақтарындағы функциялар
жиындары тең.
0 ≠ k
2 . Анықталмаған интеграл табу операциясы -- сызықтық, яғни егер
функцияларының алғашқы функциялары бар болса, онда
функциясының да алғашқы функциясы бар жəне
() ( ) x f x f n ... 1 ( ) ∑ =
n
i
i i
x f k
1
( const k k n i
− ... )

3 . Егер функциялары D аймағында дифференциалданатын əрі осы
аймақта функциясының алғашқы функциясы бар болса, онда
алғашқы функциясы бар жəне бөліктеп интегралдау формуласы
деп аталады.

∫ ∫ − = VdU UV UdV (8)
түрінде жазылады.
Мысалы
∫∫ ∫ + − = + − = − = − =
= =
= =
= . ) 1 (ln ln ln
1
ln
,
1
, ln
ln C x x C x x x dx x x dx
x
x x x
V x du dx
x
dv dx U x
xdx

4.Егер ) (t ϕ функциясының D аймағындағы алғашқы функциясы Ф(t), ал G
аймағында дифференциалданатын функция жəне ( ) x f ( ) D G f ⊂ болса, онда
(9)
∫ + = C x f dx x f x f )) ( ( Ф ) ( ' )) ( ( ϕ
теңдігі орынды.

ЛЕКЦИЯ № 2

3. Рационал функцияларды интегралдау.

Анықтама. b кешен санын ( ) z f көпмүшелігінің түбірі деп айтамыз, егер
нөлге тең болса. ( ) b f
1-теорема. Дəрежесі нөлден өзгеше ( ) z f көпмүшелігі екімүшелігіне
бөлінеді сонда жəне тек сонда, егер b саны
) ( b z −
( ) z f көпмүшелігінің түбірі болса.
4. Көпмүшеліктің еселі түбірлері. Еселі түбір белгісі. Еселі түбір табу .
көпмүшелігінің түбірлері арасында бірдей түбірлерінің болуы мүмкін.
Айталық көпмүшелігінің əртүрлі түбірлері болсын. Сонда
( ) z f
c b a ,..., , ( ) z f
алдыңғы параграф нəтижелерінен ( ) z f үшін ()
γ β α
) ...( ) ( ) ( c z b z a z z f − − − = (1)
Жіктеуі орынды. Мұндағы − γ β α ,..., , бірден кем емес бүтін сандар əрі
, ... n = + + + γ β α ал n дəрежесі. ( ) z f
Түбір еселігінің осыған тең мағыналы мынадай анықтамасын беруге болады:
α кешен саны көпмүшелігінің ( ) z f α еселі түбірі деп аталады, егер ( ) z f үшін
() () ( ) 0 , ) ( ≠ − = a z a z z f ϕ ϕ α
өрнектеуі орындалса.
) 1 ( − α еселі түбірі екенін көрсетеді.
1-теорема. α кешен саны ( ) z f көпмүшелігінің α еселі Біздің негізгі
мақсатымыз - α кешен санының ( ) z f көпмүшелігінің α еселі түбірі
болуының қажетті жəне жеткілікті шартын көрсету. Ол үшін ең алдымен
мына тұжырымның дұрыстығын дəлелдейік.
Егер α кешен саны ( ) z f көпмүшелігінің α еселі түбірі болса, онда ол
оның туындысы көпмүшелігінің ( ( ) z f ' ) 1 − α еселі түбірі болады.
5. Еселеуіштері кешен дұрыс рационал бөлшекті жəй бөлшектерге
жіктеу.
Рационал бөлшек деп екі алгебралық көпмүшеліктердің қатынасын айтамыз.
Рационал бөлшек дұрыс деп аталады, егер алымындағы көпмүшеліктің
дəрежесі бөліміндегі көпмүшеліктің дəрежесінен төмен болса. Ал олай
болмаса, онда рационал бөлшек бұрыс деп аталады. Рационал бөлшекті біз
( )
( ) z Q
z P
арқылы, яғни жəне ( ) z P ( ) z Q көпмүшеліктерінің қатынасы түріндегі
символ арқылы белгілейміз.
1-теорема. Егер α кешен саны
( )
( ) z Q
z P
дұрыс рационал бөлшегі бөлімінің α
еселі түбірі, яғни
(2)
өрнкешен сан, − ≥ 1 k бүтін сан, ( )− z f белгілі
бір көпмүшелі əрі (2) теңдіктің соңғы қосылғышы дұрыс рационал бөлшек.
2-теорема. Егер
дұрыс рационал бөлшегінің бөлімі
() N c z b z a z z Q ∈ − − − = γ β α γ β α
,..., , , ) ...( ) ( ) ( , (3)
түрінде болса, онда
()
түріндегі ауыстыру арқылы
интегралданады. Осы үш жағдайдан басқа жағдайларда (2) интегралдың элементар
функциялар класында интегралданбайтынын П.Л. Чебышев дəлелдеп
көрсеткен.

Тригонометриялық өрнектерді интегралдау.

Көп жағдайда берілген интегралды рационал функцияның интегралына
келтіріп түрлендіруді табуға тырысады. Ондай түрлендірулер табылса, онда олар
интегралды рационалдайды деп айтады.
Біз символы арқылы аргументтері бойынша рационал болатын
өрнекті белгілейік.
,...) , ( v u R ... , v u
Айталық бізге тригонометриялық функциялардан рационалды тəуелді өрнек
берілген делік. Барлық тригонометриялық функциялар sin x жəне cos x арқылы
рационалды анықталатын болғандықтан бұл өрнекті sin x жəне cos x
функцияларының рационал функциясы деп есептеуге болады, яғни оның түрі

R(sin x, cos x )
Біздің мақсатымыз (1) түіндегі кезкелген функцияның интегралданатынын
дəлелдеу. Ең алдымен (1) функцияның интегралы универсал ауыстыру деп
аталатын t=tg
2
x
ауыстыру арқылы рационалданатынын дəлелдейік. Шынында
да,


Ал рационал функцияның рационал функциясы рационал функция
болатындықтан соңғы теңдіктің оң жағы рационал бөлшектің интегралы болады.
Екі аргументтің R(u,v) рационал функциясының үш қарапайым қасиетін
келтірейік: 10
. Егер

R(u,v) рационал функциясының бір аргументінің таңбасын
өзгерткенде ол мəнін өзгертпесе, яғни R(-u,v)=R(u,v) болса, онда бұл рационал
функция түріне келтіріледі, мұндағы ) , ( ) , (
2
1 v u R v u R = − 1 R өзінің аргументтерінің
белгілі бір рационал функциясы. Демек, бұл жағдайда функцияға n аргументінің
тек жұп дəрежелері ғана қатысады.
20
. Егер u таңбасын өзгерткенде R(u,v) функциясы да таңбасын өзгертсе, яғни
R(-u,v)= -R(u,v) болса, онда u түріне келтіріледі. ) , ( ) , (
2
2 v u R v u R =
30
. Егер R(u,v) функциясының екі аргументінің де таңбасын өзгерткенде ол өз
мəнін өзгертпесе, онда ) , ( ) , ( v u R v u R = − − болса, онда ) , (
~
) , (
2
v
v
u
R v u R = түрінде
өрнектеледі, мұндағы − R ~
өзінің аргументтерінің белгілі бір рационал
функциясы.
Енді осы үш жағдайда (1) функцияның интегралының рационализациялану
мəселесінің кейбір дербес жағдайларына тоқталайық.
1. Егер u таңбасын өзгерткенде R(u,v) таңбасын өзгертсе, онда 20
қасиет
бойынша
∫ ∫ ∫ − − = = ). (cos ) cos , cos 1 ( sin ) cos , (sin ) cos , (sin 2
2
2
2 x d x x R xdx x x R dx x x R

Демек, (1) функцияның интегралы x t cos = ауыстыру арқылы рационалданады.
2. Енді екінші аргумент v таңбасын өзгерткенде R(u,v) таңбасын өзгертсе,
онда тағы да 20
қасиет бойынша
∫∫ ∫ − = = x d x x R xdx x x R dx x x R sin ) sin 1 , (sin cos ) cos , (sin ) cos , (sin 2
3
2
3 , яғни, (1)
функцияның интегралы ауыстыру арқылы рационаданады.
3. Егер u, v таңбаларын өзгерткенде R(u,v) таңбасын өзгертсе, онда 30
қасиет
бойынща ) , (

ЛЕКЦИЯ № 6

Анықталған интеграл.

1. Риман интегралының анықтамасы.
Ең алдымен бөлшектеу жəне белгіленген нүктелер бөлшектеу ұғымын
келтірейік.
[] кесіндісінің , , , b a b a < P бөлшектеуі немесе P бөліктеуі деп осы кесіндісінің
теңсіздіктерін қанағаттандыратын ақырлы
нүктелер жүйесін айтады.
b x x x x a n = < < < ε саны үшін [ ] b a, кесіндісінің белгіленген нүктесі жəне
параметрі () σ λ < P болатын кез келген ( ) ζ , P бөлшектеуіне сəйкес
() ε ξ δ саны болса, онда I санын функциясының
кесіндісіндегі Риман интегралы деп атайды. Демек,
f
[ b a, ] I саны [ ] b a,
кесіндісінің белгіленген нүктелі бөлшектеулеріне сəйкес функциясының
интегралдық қосындылар мəндерінің
f
( ) 0 → P λ ұмтылғандағы шегі жəне оны

()
() ∑ = →
∆ =
n
i
i i
P
x f I
1 0
lim ξ
λ
деп жазуға болады.
f функциясының кесіндісі бойынша интегралы [ b a, ]
]
]
() ∫
b
a
dx x f
Символы арқылы бейнеленеді, мұндағы сандары сəйкес интегралдаудың
төменгі жəне жоғарғы шектері деп, - интеграл астындағы функция жəне
- интегралдау айнымалысы леп аталады. Сонымен
b a,
f
x

(2) ()
()
() ∑ ∫
= →
∆ =
n
i
i i
P
b
a

ЛЕКЦИЯ № 7

Интегралданатын функциялардың маңызды кластары.

1 – теорема. [] [ ] b a R f b a C f , , ∈ ⇒ ∈
Дəлелдеуі: Егер функция кесіндіде үзіліссіз болса, онда ол бұл кесіндіде
шектеулі, демек, интегралданудың қажетті щарты орындалған. Сонымен
бірге кесіндіде үзіліссіз функция онда бірқалыпты үзіліссіз, сондықтан

Бұл дегенді білдіреді. Теорема дəлелденді. [ b a R f , ∈ ]
2 – теорема. Егер функциясы f [ ] b a, кесіндісінде шектеулі жəне саны
ақырлы нүктелер жиынынан басқа бүкіл осы кесіндіде үзіліссіз болса, онда
. [] b a R f , ∈
3 – теорема. Кесіндіде монотонды функция осы кесіндіде интегралданады.

Жоғарғы жəне төменгі интегралдық қосындылар жəне олардың
қасиеттері
Айталық, функциясы кесіндісінде анықталған жəне онда шектелген
нақты мəнді функция,
f [ b a, ]
P [ ] b a, кесіндісінің бөліктеуі, () n i i
,..., 2 , 1 = ∆ P
бөліктеуінің кесінділері, ал болсын.
Онда
() ( ) ( ) n x f m x f M
i
i
x
i
x
i
,..., 2 , 1 ,
inf sup ∆ ∈ ∆ ∈
= =
() () ∑ ∑ = =
∆ = ∆ =
n
i
i i
n
i
i i
x M P f S x m P f S
1 1
, ; , ;қосындылары сəйкес функциясының f [ ] b a, кесіндісіндегі осы кесіндінің
бөліктеуіне сəйкес төменгі жəне жоғарғы интегралдық қосынды деп
аталады. Бұл қосындыларды
P
[ ] b a, кесіндісінің P бөліктеуіне сəйкес төменгі
жəне жоғарғы Дарбу қосындылары деп те атайды.
Егер () ξ , P кесіндісінің белгіленген нүктесі ---бөліктеуі болсын, онда [ b a, ]
)) () ( ) () ( ( ξ ξ σ , ; , ; , P f S P f P f S ≤ ≤ (1)
Екені айқын.
1- лемма. () () () ( ) () () , , ; ; , , ; ; sup inf ξ σ ξ σ
ξ ξ
P f P f S P f P f S = =
1 - теорема. Шектеулі нақты мəнді функциясы f [ ] b a, кесіндісінде Риман
бойынша интегралданады сонда тек сонда ғана, егер

()
()
()
() P f S J P f S J
P P
; , ;
lim lim 0 0 → →
= =
λ λ

шектері бар жəне өзара тең болсын. Əрі олардың ортақ J J J = = мəні
() ∫
b
a
dx x f
интегралына тең.
2 - теорема. [ кесіндісінде шектеулі нақты мəнді функциясы осы
кесіндіде Риман бойынша интегралдануы үшін
]
]
b a, f
()
() ∑ = →
= ∆ ∆
n
i
i i
P
x f
1 0
0 ,
lim ω
λ
теңдігі орындалуы қажетті жəне жеткілікті.

ЛЕКЦИЯ № 8

Интегралдың сызықтығы, аддитивтігі жəне жалпы бағалауы.
1. Интеграл кеңістігінің сызықтық функциясы. [ b a R ,
1 - теорема
[] [ ] R b a R g f b a R g f ∈ ∀ ∈ + ⇒ ∈ β α β α , , , , ,
Егер жиынын нақты сандар өрісінде векторлық кеңістік деп, ал
интегралын кеңістігінің векторларында анықталған нақты
мəнді функция деп қарастырсақ, онда 1 – теорема интегралдың
[ b a R , ]
] () ∫
b
a
dx x f [ b a R ,
[ ] b a R ,
векторлық кеңістігінде сызықтық функция екенін тұжырымдайды.
2. Интеграл - интегралдану кесіндісінің аддитивтік функциясы.
2 – теорема
Егер жəне бплса, онда c b a
() xy y x f = ,
Көп айнымалы сандық функцияның шегі. сандық функциясы f
n
R E ⊂
жиынында анықталып, сол жиынның шектік нүктесі болсын. Егер
белгілі бір
a
A нақты саны мен кез келген ε оң саны үшін ,
( ) ε δ < − < a x 0 теңсіздігін қанағаттандыратын əрбір үшін əрқашанда E x∈
() ε < − A x f теңсіздігі орындалатындай ( ) ε δ оң саны табылса, онда
айнымалысы
x
E жиынында жатып - ға ұмтылғанда функциясының
нақты мəнді шегі бар жəне ол
a f
A санына тең дейді де, бұл жағдайды
былай жазады:
() ( ) () ( ) ε ε δ ε δ ε < − ⇒ ∀ ⇔ =
→
A x f a x E x A x f
a x
0 , 0 0 lim
Бір айнымалы жағдайындай, берілген анықтама функция шегінің « δ ε − » тіліндегі анықтамасы деп аталады. Екі айнымалы функцияны
қарастырайық:
, () y x f
b y a x
,
lim lim → →
( ) y x f
b y a x
,
lim lim → →
(1)
(1) – ді қайталанған шек деп атайды. Əрине, қайталанған деген сөз əуелі
бір айнымалыны бекітіп қойып, екінші айнымалы бойынша шекке
көшіп, содан соң бекітілген айнымалы бойынша шекке көшіп, шекке
көшу амалы қайталанатынын білдіреді.

ЛЕКЦИЯ № 12

Үзіліссіздік анықтамасы. Вейерштрасс теоремасы.
Бірқалыпты үзіліссіздік. Кантор теоремасы.
Үзіліссіздік анықтамасы. функциясы f
n
R E ⊂ жиынында анықталып,
болсын. Егер E a∈ ( ) ( ) a f x f
a x
=
→
lim теңдігі орындалса, онда функциясы
нүктесінде
f
a E жиыны бойынша үзіліссіз дейді. Сонымен, бір
айнымалы жағдайы сияқты функциясы нүктесінде f a E жиыны
бойынша үзіліссіз болуы үшін келесі үш шарт орындалуы қажет:
1) функциясы нүктесінде анықталған, яғни f a ( ) a f өрнегі мағыналы;
2) () ( ) a f x f
a x
=
→
lim нақты мəнді шегі бар болады;
3) теңдігі орындалады. ( ) a f A =
Егер функциясы f
n
R E ⊂ жиынының əрбір нүктесінде сол жиын
бойынша үзіліссіз болса, онда функциясы f
n
R E ⊂ жиынында үзіліссіз
дейді.
Егер функциясы f
n
R E ⊂ жиынында анықталып, нүктесінде сол
жиын бойынша үзіліссіз болмаса, онда функциясы нүктесінде
E a∈
f a E
жиыны бойынша үзілісті дейді. Вейерштрасс теоремасы. Бұл теорема бір айнымалы жағдайындағы осы
атты теореманың
n
R - ге жалпылауы болып, оны тереңірек түсінуге
мүмкіндік береді.
Теорема. функциясы шенелген жəне тұйық f
n
R E ⊂ жиынында
анықталып, сол жиын бойынша үзіліссіз болсын. Онда
функциясының ең үлкен жəне ең кіші мəндері бар болады, яғни
f
E
жиынында жатқан белгілі бір x x, нүктелері мен кез келген E x∈ үшін
() () ( ) x f x f x f ≤ ≤ теңсіздіктері орындалады.
Бірқалыпты үзіліссіздік. функциясы f
n
R E ⊂ жиынында анықталған
болсын. Егер əрбір ε оң саны үшін ( ) ε δ < − ∈ y x E y x , , шарттары
орындалған сайын () ( ) ε ∆ < ∆ n
n

теңдіктері орындалуы қажетті жəне жеткілікті.
Ескерту: Егер де теңсіздіктерінің бірі орындалса,
онда, əрине, нүктесі функциясының экстремум нүктесі болмайды.
Ең маңыздысы 1) жағдайда , яғни квадраттық форма оң анықталған
жағдайда, нүктесі функциясының локальді қатаң минимум нүктесі
болады. Демек, 2) жағдайда , яғни квадраттық форма теріс анықталған
жағдайда, нүктесі функциясының локальді қатаң максимум нүктесі
болады. Ал квадраттық форма жартылай оң немесе жартылай теріс
анықталған жағдайда нүктесі функциясының локальді экстремум
нүктесі болуы да, болмауы да мүмкін. Ал ескертуде айтылған жағдайда,
яғни квадраттық форма анықталмаған жағдайда, нүктесі функциясы
үшін локальді экстремум нүктесі емес.


Бұл материалды жүктеп алуыңызға болады:

rrrrrsr-rrrrrer-rrssrrrrrss.pdf

(Жүктелген саны: 362)

Файлды онлайн қарап алу: rrrrrsr-rrrrrer-rrssrrrrrss.pdf