Қазақша
математиктер сайты
Теория (6 класс)


Алгебралық өрнекті санды өрнектен ажыратып, алгебралық өрнектің қабылдайтын мәндерін, қандай сан алгебралық өрнектің мәні деп аталатынын, қандай өрнек алгебралық қосынды деп аталатынын толығымен түсініп, алгебралық өрнектерді жазуды, алгебралық өрнектің мәнін табудыүйренесіңдер.
АЛГЕБРАЛЫҚ ӨРНЕКТЕР
Алгебралық өрнектердің жазылуында әріптер, сандар, арифметикалық амалдар таңбалары және жақшалар болуы мүмкін.
Алгебралық өрнектерді жазуда, әріпті өрнектердің жазылу шарттары сақталады.
Мысалы,
1) а * 9 көбейтіндісінің 9а (мұндағы 9 – коэффициент) түрінде;
2) а, в және с көбейтіндісінің авс түрінде;
3) 8 және ( х+6) көбейтіндісінің 8(х+6) түрінде жазылуы
Алгебралық өрнектерде жақшаны пайдалануға ерекше назар аудару керек.
Мысалы, 3- ( у + 5) өрнегін 3 – у + 5 түрінде жазуға ( есептеуге) болмайды.
Себебі, 3-(у+5) өрнегінде 3 санынан у пен 5 сандарының қосындысын азайту берілсе, ал 3-у+5 өрнегінде 3 санынан у-ті азайтып, нәтижесіне 5 санын қосу берілген.
Себебі, х = 2 болса, бөлшектің бөлімі 0 – ге тең болады. Санды нөлге бөлуге болмайтындықтан, х – тің 2 – ге тең мәнінде өрнектің мағынасы болмайды.
Алгебралық өрнектегі әрбір әріптің орнына оның
қабылдайтын мәнін қойып, көрсетілген амалдарды
орындау нәтижесінде шығатын санды алгебралық
өрнектің мәні деп атайды.
Қосу мен азайту амалдары ғана бар 4а – 2в + 3с – 5d алгебралық өрнегін қарастырайық.
Бұл өрнекті 4а + ( – 2в) + 3с + (– 5d) түрінде жазуға болады.
4а – 2в + 3с – 5d өрнегі алгебралық қосынды деп,
ал 4а, -5в, +3с, - 5d алгебралық қосылғыштар деп аталады.
Сан — математиканың негізгі ұғымдарының бірі. Қарапайым түрде алғашқы қоғамдарда-ақ пайда болған, кейін бірте-бірте қолданыс аясы кеңейіп әрі жалпыланды. Кейбір заттарды санауға байланысты бүтін оң (натурал) Сан дар ұғымы, кейіннен Сандардың натурал қатарының (1, 2, 3, 4, …) шексіздігі туралы идея пайда болды. Сан ұғымының алғашқы кеңеюі — натурал Сандарға бөлшек Сандардың қосылуы болды. Ол ұзындықты өлшеу, ауданды табу, сондай-ақ, атаулы шамалардың үлесін бөліп шығару қажеттілігіне байланысты қолданысқа енгізілді. Теріс Сандар арифмет. есептерді шешудің жалпы тәсілдерін беретін алгебраның ғылым ретінде дамуына байланысты шықты. Бүтін, бөлшек (оң және теріс) және нөл сандары рационал сан деп аталды. Айнымалы шамалардың шексіз өзгеруін зерттеу үшін Сан ұғымы кеңейтіліп, нақты сандар жиынтығы пайда болды. Шамалардың қатынасын (мыс., квадрат диагоналының оның қабырғасына қатынасы) дәл өрнектеу қажеттігі иррационал сандар ұғымын енгізуге себепші болды. 16 ғ-да квадрат және куб теңдеулерді шешуге байланысты жорымал сандар ұғымы енгізілді. Сан ұғымы дамуының соңғы кезеңі комплекс Сандардың енгізілуі болды. Бұл идея 16 ғ-да 3- және 4-дәрежелі алгебр. теңдеулердің шешімін табуға байланысты пайда болған.

Оң, теріс бүтін сандар және сан өрісі тарихынан түсінік
Математика –ғылымдардың ішінде ең ерте шыққаны оның тарихы ғасырлар түкпірінде жазу мен сызу жоқ кезде басталған.Адамзат тағылығының даму тағылық дәуірдің табалдырығын аттап басқан заманда «артық», «кем», «үлкен», «кіші» ұғымдары туған. Бұлар кейін «тең» ұғымының шығуына негіз болған. Күн көріс қамы тірішілік үшін жүргізілген күрес ерте заманның адамдарын айналасындағы заттарды санауға, нәрселердің мөлшерін өз-ара салыстыруға, жыл мезгілдерін айыруға мәжбүр еткен. Заттарды санаудан 1, 2 , 3, 4, 5, … т.с.с. натурал сандар ұғымы қалыптасқан. «Нәрселерді санағанда қолданылатын сандар натурал сандар деп аталады.» Кез келген натурал санды он цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 арқылы жазып көрсетуге болады.Сандарды осылайша жазу тәсілі ондық тәсіл деп аталады. Натурал сандар жиыны ең қарапайым сандар жиынының бірі болып табылады.Бұл жиында әр уақытта негізгі екі арифметикалық амалдар қосу және көбейту орындалады. Ал мұның өзі m және n натурал сандары қандай болса да олардың m+n қосындысы да, m∙n көбейтіндісі де сөзсіз натурал сандар болатындығын білдіреді.Мұнда мына бес заң орындалады.1. Қосу амалының коммутативтік заңы (ауыстырымдылық)m+n=n+m2. Қосу амалының ассоциативтік заңы (терімділік)(m+n)+k=m+(n+k)3. Көбейту амалының коммутативтік заңы (ауыстырымдылық)m∙n=n∙m4. Көбейту амалының ассоциативтік заңы (терімділік)(m∙n)∙k=n∙(m∙k)5. Көбейту амалының қосуға қатысты алғандағы дистрибутивтік заңы (үлестірімділік)(m+n)∙k=m∙k+n∙kАзайту мен бөлу амалына келетін болсақ натурал сандарға бұл амалдарды әр уақыт қолдана беруге болмайды.Мысалы: 3-5 және 2-2 айырмалардың ешқайсысын сондай-ақ 3:5 және 7:4 бөлінділерінің ешқайсысын ешбір натурал санмен өрнектеуге болмайды. Азайту амалы әр уақытта да орындалатын болу үшін натурал сандар жиынын барлық бүтін теріс сандармен нольді енгізіп кеңейту керек, осылай кеңейтудің нәтижесінде барлық бүтін сандар оң,теріс және ноль сандар жиыны шығады.∙∙∙-3,-2,-1,0,1,2,3,∙∙∙Теріс сандар математикаға XVII ғасырда толық кірді және кең қолданылды.Теріс сандар Грек математигі Диофант еңбектерінде көрінді, бірақ ол өзі оны мойындамады. Ол еңбектерінде «теріс» сан шықса, «мүмкін емес» деп тастап кетті. Ал Индиялы математик Брамагуата (VII ғасыр) өзінің есептеулерінде кең қолданып дұрыс түсінік берді. Ол мүлікті оң, ал қарызды теріс сандармен белгіледі. Ал оның жерлесі Бхаскара (XII ғасыр) теріс сан дәрежесінен пайдаланып өзінің Венец системалары: еңбегінде (+5)²=25 (-5)²=25 деп көрсетті.Европа математиктері XVI ғасырда теріс сандарды пайдаланды. Олар теріс сандарды: «өтірік», «түсініксіз», «жоқтан кіші» тағы басқа деп атады.Тек Голландиялық математик Жирар (XVI-XVII ғасыр) теріс сан мен оң сандарды теңдей пайдаланды.XVII ғасырдан бастап теріс сандар математикаға жақсылар кірді және практикада қолдануға ие болды.Франциялы философ және математик Декарт координат түзудің нүктелері мен сандардың көргізбелі түсінігін берді. Әр түрлі құбылыстарды және математикалық өрнектерді график арқылы көрсету үшін ол теріс сандарды пайдаланды.Жоқарыда айтылған бес заңға бағынатын қосу және көбейту амалдары әр уақытта орындалатын сандар жиыны сақина аталады.Барлық натурал сандар жиынын барлық бүтін сандар жиынына дейін кеңейту нәтижесінде азайту амалы да әр уақытта орындалатын болды. Ал бөлу амалы жалпы айтқанда бұрынғысынша орындалмайтын болып тұр. Бұл кемшілікті жою үшін барлық бүтін сандар жиынын да кеңейту қажет. Мұны бүтін сандарды (m және n кез келген бүтін сандар және n≠0) енгізіп орындауға болады. Нәтижеде барлық рационал сандар жиыны шығады.
Негізгі бес заңға бағынатын қосу және көбейту амалдары және азайту мен бөлу нольге бөлуден өзге амалдары әр уақытта орындалатын сандар жиыны өріс деп аталады.